ЛЕКЦИЯ № 10. Графы

1. Понятие графа. Способы представления графа

Граф - пара G = (V,E), где V - множество объектов произвольной природы, называемых вершинами, а Е - семейство пар ei = (vil, vi2), vijOV, называемых ребрами. В общем случае множество V и (или) семейство Е могут содержать бесконечное число элементов, но мы будем рассматривать только конечные графы, т. е. графы, у которых как V, так и Е конечны. Если порядок элементов, входящих в ei, имеет значение, то граф называется ориентированным, сокращенно - орграф, иначе - неориентированным. Ребра орграфа называются дугами. В дальнейшем будем считать, что термин "граф", применяемый без уточнений (ориентированный или неориентированный), обозначает неориентированный граф.

Если е = <u,v>, то вершины v и и называются концами ребра. При этом говорят, что ребро е является смежным (инцидентным) каждой из вершин v и и. Вершины v и и также называются смежными (инцидентными). В общем случае допускаются ребра вида е = <v, v>; такие ребра называются петлями.

Степень вершины графа - это число ребер, инцидентных данной вершине, причем петли учитываются дважды. Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер: Sum(deg(vi), i=1...|V|) = 2 * |E|.

Вес вершины - число (действительное, целое или рациональное), поставленное в соответствие данной вершине (интерпретируется как стоимость, пропускная способность и т. д.). Вес, длина ребра - число или несколько чисел, которые интерпретируются как длина, пропускная способность и т. д.

Путем в графе (или маршрутом в орграфе) называется чередующаяся последовательность вершин и ребер (или дуг - в орграфе) вида v0, (v0,v1), v1..., (vn - 1,vn), vn. Число n называется длиной пути. Путь без повторяющихся ребер называется цепью, без повторяющихся вершин - простой цепью. Путь может быть замкнутым (v0 = vn). Замкнутый путь без повторяющихся ребер называется циклом (или контуром в орграфе); без повторяющихся вершин (кроме первой и последней) - простым циклом.

Граф называется связным, если существует путь между любыми двумя его вершинами, и несвязным - в противном случае. Несвязный граф состоит из нескольких связных компонент (связных подграфов).

Существуют различные способы представления графов. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1. Матрица инцидентности.

Это прямоугольная матрица размерности n x щ, где n - количество вершин, am - количество ребер. Значения элементов матрицы определяются следующим образом: если ребро xi и вершина vj инцидентны, то значение соотвествующего элемента матрицы равно единице, в противном случае значение равно нулю. Для ориентированных графов матрица инцидентности строится по следующему принципу: значение элемента равно - 1, если ребро xi исходит из вершины vj, равно 1, если ребро xi заходит в вершину vj, и равно О в противном случае.

2. Матрица смежности.

Это квадратная матрица размерности n x n, где n - количество вершин. Если вершины vi и vj смежны, т. е. если существует ребро, их соединяющее, то соответствующий элемент матрицы равен единице, в противном случае он равен нулю. Правила построения данной матрицы для ориентированного и неориентированного графов не отличаются. Матрица смежности более компактна, чем матрица инцидентности. Следует заметить, что эта матрица также сильно разрежена, однако в случае неориентированного графа она является симметричной относительно главной диагонали, поэтому можно хранить не всю матрицу, а только ее половину (треугольную матрицу).

3. Список смежности (инцидентности).

Представляет собой структуру данных, которая для каждой вершины графа хранит список смежных с ней вершин. Список представляет собой массив указателей, i-ый элемент которого содержит указатель на список вершин, смежных с i-ой вершиной.

Список смежности более эффективен по сравнению с матрицей смежности, так как исключает хранение нулевых элементов.

4. Список списков.

Представляет собой древовидную структуру данных, в которой одна ветвь содержит списки вершин, смежных для каждой из вершин графа, а вторая ветвь указывает на очередную вершину графа. Такой способ представления графа является наиболее оптимальным.

2. Представление графа списком инцидентности. Алгоритм обхода графа в глубину

Для реализации графа в виде списка инцидентности можно использовать следующий тип:

Type List = ^S;

end;

Тогда граф задается следующим образом:

Var Gr : array[1..n] of List;

Теперь обратимся к процедуре обхода графа. Это вспомогательный алгоритм, который позволяет просмотреть все вершины графа, проанализировать все информационные поля. Если рассматривать обход графа в глубину, то существуют два типа алгоритмов: рекурсивный и нерекурсивный.

При рекурсивном алгоритме обхода графа в глубину мы берем произвольную вершину и, отыскиваем произвольную непросмотренную (новую) вершину v, смежную с ней. Затем принимаем вершину v за неновую и отыскиваем любую смежную с ней новую вершину. Если же у какой-либо вершины нет более новых непросмотренных вершин, то полагаем эту вершину использованной и возвращаемся на уровень выше в ту вершину, из которой попали в нашу использованную вершину. Обход продолжается таким образом до тех пор, пока в графе не останется новых непросмотренных вершин.

На языке Pascal процедура обхода в глубину будет выглядеть следующим образом:

Procedure Obhod(gr : Graph; k : Byte);

End;

Примечание

В данной процедуре при описании типа Graph имелось в виду описание графа списком списков. Массив nov[i] - специальный массив, i-ый элемент которого равен True, если i-ая вершина не просмотрена, и False - в противном случае.

Также часто используется нерекурсивный алгоритм обхода. В этом случае рекурсия заменяется на стек. Как только вершина просмотрена, она помещается в стек, а использованной она становится, когда больше нет новых вершин, смежных с ней.

3. Представление графа списком списков. Алгоритм обхода графа в ширину

Граф можно определить с помощью списка списков следующим образом:

Type List = ^Tlist;

end;

При обходе графа в ширину мы выбираем произвольную вершину и просматриваем сразу все вершины, смежные с ней. Вместо стека используется очередь. Алгоритм обхода в ширину очень удобен при нахождении наикратчайшего пути в графе.

Приведем процедуру обхода графа в ширину на псевдокоде:

Procedure Obhod2(v);

End;

Автор: Цветкова А.В.

<< Назад: Графы (Понятие графа. Способы представления графа. Представление графа списком инцидентности. Алгоритм обхода графа в глубину. Представление графа списком списков. Алгоритм обхода графа в ширину)

>> Вперед: Методы (Методы. Конструкторы и деструкторы. Деструкторы. Виртуальные методы. Поля данных объекта и формальные параметры метода)

Рекомендуем интересные статьи раздела Конспекты лекций, шпаргалки:

▪ Наследственное право. Конспект лекций

▪ Поликлиническая педиатрия. Конспект лекций

▪ Госпитальная терапия. Конспект лекций

Смотрите другие статьи раздела Конспекты лекций, шпаргалки.

Читайте и пишите полезные комментарии к этой статье.

<< Назад

Последние новости науки и техники, новинки электроники:

Рыжий ген и ускоренная эволюция 30.04.2026

Вопрос о том, как и насколько быстро меняется человеческий вид, давно занимает биологов и генетиков. Долгое время считалось, что эволюционные процессы происходят крайне медленно, однако новые данные заставляют пересматривать эти представления. Особенно интересные результаты связаны с изменением частоты редких генетических признаков, включая рыжий цвет волос. Рыжеволосость сегодня остается редкой чертой: ее носители составляют менее 2 процентов мирового населения. Однако анализ древней и современной ДНК показывает, что ген, связанный с этим признаком, за последние примерно 10 тысяч лет стал заметно более распространенным, особенно среди популяций Европы. Более того, вместе с ним исследователи фиксируют и другие изменения в генетическом профиле человека, затрагивающие внешность и физиологические особенности. Среди сопутствующих тенденций, выявленных в генетических данных, отмечается увеличение частоты светлой кожи, снижение вероятности мужского облысения, а также некоторые физиолог ...>>

Нейтринный лазер 30.04.2026

Нейтринный лазер - это гипотетическое устройство, способное управлять потоками одних из самых трудноуловимых частиц во Вселенной. Такая разработка открывает новые горизонты в изучении фундаментальных законов природы и может изменить представления о космосе. Идею нового типа излучателя представили физики из Massachusetts Institute of Technology, предложив лазер, который вместо света генерирует поток нейтрино. Эти частицы, почти не взаимодействующие с материей, настолько слабо проявляют себя, что их часто называют "частицами-призраками". Тем не менее они пронизывают все вокруг: по оценкам, триллионы нейтрино ежесекундно проходят через человеческое тело, не оставляя следа. Несмотря на их колоссальную распространенность во Вселенной, нейтрино остаются одними из наименее изученных частиц. Их крайне сложно регистрировать, а еще сложнее контролировать, поэтому традиционно их получают в крупных установках вроде ядерных реакторов или ускорителей частиц. Такие комплексы требуют огромных за ...>>

Мороженое не такое вредное, как принято считать 29.04.2026

В питании часто встречаются продукты, которые одновременно вызывают удовольствие и сомнения с точки зрения здоровья. К таким относится и мороженое: оно воспринимается как типичный десерт с высоким содержанием сахара и жиров, однако современные научные данные постепенно усложняют это привычное представление. Долгое время считалось, что мороженое не может быть частью рационального питания, однако исследования последних лет показывают более неоднозначную картину. Ученые подчеркивают, что влияние этого продукта на организм зависит не только от его сладости или калорийности, но и от состава, качества ингредиентов и общего образа жизни человека. Одни из наиболее масштабных данных были получены в рамках долгосрочных наблюдений в США, включавших проекты Nurses Health Study, Nurses Health Study II и Health Professionals Follow-Up Study. В этих исследованиях на протяжении 20-40 лет наблюдали примерно 190 тысяч взрослых участников, регулярно собирая данные об их питании, физической активнос ...>>

Случайная новость из Архива Материал-изолятор, являющийся проводником на его гранях 14.06.2018 Ученые-физики из университета Цюриха обнаружили материал, относящийся к новому классу топологических изоляторов высшего порядка. Грани кристаллических твердых тел из этих материалов проводят электрический ток почти без сопротивления, в то время, как остальная часть материала остается изолятором. Такие уникальные свойства новых материалов могут оказаться очень полезными для создания новых видов электронных устройств и, безусловно, для создания квантовых вычислительных систем. Топология, наука, являющаяся частью материаловедения, занимается исследованиями свойств твердых частиц и тел, защищенных от деформаций и воздействий различных внешних факторов. Одним из направлений этой науки являются исследования топологических изоляторов, кристаллических материалов, которые проводят электрический ток только в поверхностном слое. При этом, за счет некоторых физических эффектов проводящие поверхности не могут быть переведены в изоляционное состояние. Теоретические расчеты, проведенные физиками, показали, что свойства топологических изоляторов высшего порядка должны быть крайне стабильными. Другими словами, на электропроводность граней кристаллов не должны влиять примеси и другие нарушения кристаллической решетки. Кроме этого, грани кристаллов не нуждаются в дополнительной обработке или в каком-нибудь инициировании для получения токопроводящих свойств. И даже если кристалл вдруг сломается, то электрический ток все равно продолжит течь по нему по вновь образовавшимся граням. Данные исследования находятся сейчас по большей мере в теоретической области. Но исследователи уже предложили один материал, который может являться топологическим изолятором высшего порядка, теллурид олова. "В скором времени мы найдем и другие материалы, обладающие подобными свойствами" - рассказывает профессор Титус Неуперт (Titus Neupert), - "Грани этих материалов будут работать как своего рода "шоссе" для электронов, т.е. они могут быть использованы в качестве токопроводящих дорожек электронных цепей. Более того, топологические изоляторы могут быть объединены с магнитными, полупроводниковыми и сверхпроводящими материалами, что позволит использовать их для создания квантовых компьютеров".

Другие интересные новости:

▪ Диагностика простуды до появления симптомов

▪ Клей для мозга

▪ Влагоустойчивый динамик Braven 855s

▪ Сверхмощный лазер на алмазах

▪ Заморозка нервов может помочь в борьбе с ожирением

Лента новостей науки и техники, новинок электроники

Интересные материалы Бесплатной технической библиотеки:

▪ раздел сайта Альтернативные источники энергии. Подборка статей

▪ статья Профилактика зависимости от психоактивных веществ. Основы безопасной жизнедеятельности

▪ статья Почему вода остается на коже вышедшего из нее человека, а не скатывается вниз? Подробный ответ

▪ статья Ипомея слабительная. Легенды, выращивание, способы применения

▪ статья Телефония. Справочник

▪ статья Резисторы прецизионные высокостабильные PANASONIC. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

[an error occurred while processing this directive] Оставьте свой комментарий к этой статье:

www.diagram.com.ua
2000-2026