Menu Home

Бесплатная техническая библиотека для любителей и профессионалов Бесплатная техническая библиотека


Великая теорема Ферма. История и суть научного открытия

Важнейшие научные открытия

Справочник / Важнейшие научные открытия

Комментарии к статье Комментарии к статье

В одном из некрологов Пьеру Ферма говорилось: "Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном слове".

К сожалению, о жизни великого ученого известно не так много. Пьер Ферма (1601–1665) родился на юге Франции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т. е. помощником мэра.

Доминик Ферма дал своему сыну очень солидное образование. В колледже родного города Пьер приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого, испанского, итальянского. Впоследствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках.

Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков. Однако Пьер направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ученые его времени не имели возможности посвятить себя целиком любимой науке.

Ферма избирает юриспруденцию. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). О его юридической деятельности говорится в "похвальном слове", что он выполнял ее "с большой добросовестностью и таким умением, что он славился как один из лучших юристов своего времени".

При жизни Ферма об его математических работах стало известно главным образом через посредство обширной переписки, которую он вел с другими учеными. Собрание сочинений, которое он неоднократно пытался написать, так и не было им создано. Да это и неудивительно при той напряженной работе в суде, которую ему пришлось выполнять. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему ученых. Кроме этих трактатов осталась еще обширная и чрезвычайно интересная его переписка. В XVII веке, когда еще не было специальных научных журналов, переписка между учеными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались острые научные вопросы.

Корреспондентами Ферма были крупнейшие ученые его времени: Декарт, Этьен Паскаль и Блез Паскаль, де-Бееси, Гюйгенс, Торричелли, Валлис. Письма посылались либо непосредственно корреспонденту, либо в Париж аббату Мерсенну (соученику Декарта по колледжу); последний размножал их и посылал тем математикам, которые занимались аналогичными вопросами.

Одной из первых математических работ Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония "О плоских местах".

Крупную заслугу Ферма перед наукой видят обыкновенно во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это несколько ранее было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих, относящихся к 1629 году, работах о наибольших и наименьших величинах, - работах, открывших собою тот из важнейших рядов исследований Ферма, которые являются одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности.

В конце двадцатых годов Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной В 1636 году законченное изложение метода было передано Мерсенну, и с ним могли познакомиться все желающие.

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами" Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.

Таким образом, понятие "площади" у Ферма приобретало уже весьма абстрактный характер. К определению площадей сводились задачи на спрямление кривых, вычисление сложных площадей он сводил с помощью подстановок к вычислению более простых площадей. Оставался только шаг, чтобы перейти от площади к еще более абстрактному понятию "интеграл".

У Ферма есть много других достижений. Он первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Но Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах.

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений - так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска, о котором будет сказано ниже. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

В письме к де-Бесси от 18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а - делится на р, причем к является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел. Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств.

Во второй книге своей "Арифметики" Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал:

"Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки". Это и есть знаменитая Великая теорема.

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке ее исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Без преувеличения можно сказать, что она сыграла в развитии теории чисел не меньшую роль, чем задача решения уравнений в радикалах. С той только разницей, что последняя уже решена Галуа, а Великая теорема до сих пор побуждает математиков к исследованиям.

С другой стороны, простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о "чудесном доказательстве" ее привели к широкой популярности теоремы среди не математиков и к образованию целой корпорации "ферматистов", у которых, по словам Дэвенпорта, "смелость значительно превосходит их математические способности". Поэтому Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней. Здесь он применил новый метод. Ферма пишет, что "поскольку обычные методы, находящиеся в книгах, были недостаточны для доказательства столь трудных предложений, то я, наконец, нашел совершенно особый путь для их достижения. Я назвал этот способ доказательства бесконечным или неопределенным спуском".

Именно этим методом были доказаны многие предложения теории чисел, и, в частности, с его помощью Эйлер доказал Великую теорему для n=4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет и для n=3.

Этот метод Ферма описывал в своем письме к Каркави (август 1659 года) следующим образом:

"Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью".

Далее Ферма говорит, что после долгих размышлений он смог применить свой метод и для доказательства других утвердительных предложений. "Но для применения метода к доказательству других предложений, - пишет И.Г Башмакова, - например, для доказательства того, что каждое число представимо суммой не более четырех квадратов, требуется применение "новых принципов", на которых Ферма подробнее не останавливается. Далее идет перечисление всех теорем, которые Ферма доказал, пользуясь методом спуска. Среди них находится и великая теорема для случая n=3. В конце письма Ферма выражает надежду, что этот метод окажется полезным для последующих математиков и покажет им, что "древние не все знали". К сожалению, это письмо было опубликовано только в 1879 году. Однако Эйлер восстановил метод по отдельным замечаниям Ферма и с успехом применил его к проблемам неопределенного анализа. Ему, в частности, принадлежит и доказательство великой теоремы для n=3. Напомним, что первая попытка доказать неразложимость куба натурального числа в сумму двух кубов была сделана около 1000 года на арабском Востоке.

Метод спуска вновь начал играть ведущую роль в исследованиях по диофантову анализу А. Пуанкаре и А. Вейля. В настоящее время для применения этого метода вводится понятие высоты, т. е. такого натурального числа, которое определенным образом ставится в соответствие каждому рациональному решению. При этом если удастся доказать, что для каждого рационального решения высоты А найдется другое решение высоты меньше А, то отсюда будут следовать неразрешимость задачи в рациональных числах".

Вся последующая алгебраическая теория чисел вплоть до работ Гаусса развивалась, отталкиваясь от проблем Ферма. В XIX веке исследования, связанные с великой теоремой Ферма и законами взаимности, потребовали расширения области арифметики. Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей п. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше 5500.

Отметим также, что Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интенсивно развивается.

Но Великая теорема в общем виде еще не доказана. Поэтому мы вправе ожидать здесь появления новых идей и методов.

Автор: Самин Д.К.

 Рекомендуем интересные статьи раздела Важнейшие научные открытия:

▪ Теория химического строения

▪ Специальная теория относительности

▪ Основы классической экономики

Смотрите другие статьи раздела Важнейшие научные открытия.

Читайте и пишите полезные комментарии к этой статье.

<< Назад

Последние новости науки и техники, новинки электроники:

Открыты нейронные механизмы кашля и чихания 02.10.2024

Хронический кашель представляет собой сложное и трудноизлечимое состояние, которое требует эффективных терапевтических подходов. На сегодняшний день наибольшую популярность имеют опиаты, такие как кодеин, но их побочные эффекты, включая риск привыкания, ограничивают возможность их использования. В таких случаях, особенно при тяжелых аллергических реакциях или вирусных инфекциях, кашель может достигать такой силы, что пациенты теряют сознание. Это подчеркивает необходимость поиска более безопасных и эффективных методов лечения. Недавнее исследование группы ученых из Сент-Луиса внесло ясность в нейронные механизмы, ответственные за кашель и чихание. Исследование показало, что существуют специфические группы нервных клеток, отвечающие за эти рефлексы. Нейроны, регулирующие чихание, располагаются в носовых ходах, в то время как нейроны, ответственные за кашель, находятся в трахее. Каждая из этих групп нейронов имеет свою механику активации и отправляет сигналы в ствол мозга, где инициир ...>>

Живопись точной физики 02.10.2024

Известная картина Винсента Ван Гога "Звездная ночь" продолжает вдохновлять ученых и искусствоведов благодаря своим уникальным особенностям. Новый детальный анализ этого произведения искусства показал, что в нем можно увидеть поразительное сходство с "скрытой турбулентностью" в атмосфере Земли. Это открытие подчеркивает глубину понимания природных процессов, которое обладал культовый художник. Недавние исследования подтверждают, что "Звездная ночь" гораздо более интересна, чем кажется на первый взгляд. Турбулентное небо на картине, полное закрученных вихрей и ярких звезд, демонстрирует удивительные аналогии с невидимыми процессами динамики жидкостей, происходящими в реальной атмосфере. Ученые, проанализировав мазки и цветовые переходы на картине, обнаружили поразительное соответствие между художественными элементами и физическими явлениями. Соавтор исследования Юнсян Хуан, специалист в области гидродинамики и океанографии из Университета Сямэня в Китае, отметил: "Картина раскрывае ...>>

Зубная нить способна предотвратить проблемы с сердцем 01.10.2024

Здоровье полости рта играет важную роль не только в общем состоянии организма, но и в профилактике серьезных заболеваний. Последние исследования подтверждают связь между состоянием десен и сердечно-сосудистыми заболеваниями. В частности, пародонтит, распространенная инфекция десен, может оказаться более опасным, чем мы думали ранее. Исследование, проведенное учеными из Университета Хиросимы, обнаружило интересную связь между пародонтитом и фибрилляцией предсердий, что подчеркивает необходимость тщательной гигиены полости рта. Пародонтит - это воспалительное заболевание десен, которое может привести к их разрушению и даже потере зубов. Он характеризуется длительным воспалением, что, как показали исследования, может способствовать развитию других заболеваний, включая сердечно-сосудистые. Фибрилляция предсердий, или нерегулярное сердцебиение, является одним из таких состояний, и исследование показало, что воспалительные процессы, связанные с пародонтитом, могут играть в этом значительн ...>>

Случайная новость из Архива

Тапочки с автопарковкой 28.01.2018

Если вы хорошо знакомы с ситуацией, когда нигде не можете найти свои домашние тапочки, то прекрасно понимаете, насколько это серьезная проблема. Что ж, похоже, она полностью решена. Компания Nissan выпустила на рынок домашние тапочки, которые "паркуются" сами по себе, так что в итоге всегда будут на месте, где бы вы их ни оставили.

Мало кому придет в голову назвать Nissan востребованным производителем обуви, однако это не отменяет факта, что тапочки компании сами "решают", где им находиться, пока они не востребованы хозяином.

Само собой, наличие новой продукции вовсе не означает уход Nissan от автопроизводства. "Умные" тапочки - рекламный ход, чтобы привлечь внимание водителей к технологии автопарковки, реализованной в автомобилях Nissan, в частности, в Nissan Leaf. Пользуясь ProPILOT Park, водитель предоставляет возможность машине припарковаться самостоятельно.

Парковка осуществляется с помощью тех же алгоритмов и датчиков, которые использует уже привычная система беспилотного управления. Добавьте сюда системы контроля полосы и адаптивного круиз-контроля - и вскоре Nissan представит полноценный беспилотник!

Все как с новыми тапочками, которые, по сути, представляют собой самые настоящие беспилотники. Обувь содержит встроенные датчики, движок и даже миниатюрные колесики, которые, при нажатии пользователем кнопки на дистанционном пульте, и "отвозят" ее в исходное положение в назначенное место.

Стоит отметить, что совсем недавно компания продемонстрировала сканирующую гарнитуру неинвазийного типа, которая путем сканирования активности мозга определяет, находится человек во время пути в расслабленном или напряженном состоянии. Например, если гарнитура констатирует нервозность пассажиров или водителя, то автомобиль с беспилотной системой движется с большей осторожностью. Или ускоряется и ведет себя значительно "агрессивнее", если фиксирует, что люди спешат.

Другие интересные новости:

▪ Смарфоны против браконьеров

▪ Процессор Allwinner T7 для умных автомобилей

▪ Жесткие диски объёмом 1 ТБ и толщиной 7 мм от WD

▪ Прогулки на природе полезны для мозга

▪ Самое быстрое вращение в природе

Лента новостей науки и техники, новинок электроники

 

Интересные материалы Бесплатной технической библиотеки:

▪ раздел сайта Инфракрасная техника. Подборка статей

▪ статья Если хочешь быть счастливым, будь им. Крылатое выражение

▪ статья Почему среди китайцев и вьетнамцев больше в процентном отношении людей с абсолютным слухом? Подробный ответ

▪ статья Врач-офтальмолог. Должностная инструкция

▪ статья Пожарная опасность электробытовых приборов, телевизоров и радиоаппаратуры. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

▪ статья Увеличивает ли увеличительное стекло? Физический эксперимент

Оставьте свой комментарий к этой статье:

Имя:


E-mail (не обязательно):


Комментарий:





Главная страница | Библиотека | Статьи | Карта сайта | Отзывы о сайте

www.diagram.com.ua

www.diagram.com.ua
2000-2024