Бесплатная техническая библиотека

Теорема Пифагора. История и суть научного открытия

Справочник / Важнейшие научные открытия

 Комментарии к статье

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о "пифагоровых штанах" - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Существует около пятисот различных доказательств этой теоремы, что свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Исторические исследования датируют появление на свет Пифагора приблизительно 580 годом до нашей эры. Счастливый отец Мнесарх окружает мальчика заботами. Возможности дать сыну хорошее воспитание и образование у него были.

Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из "Одиссеи" и "Илиады". Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.

Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте. При помощи учителя Пифагору удается покинуть остров Самос. Но пока до Египта далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом - другом Фалеса Милетского. У Ферекида Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам.

Затем в Милете он слушает лекции Фалеса и его более молодого коллеги и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время своего пребывания в Милетской школе.

Перед Египтом он на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов.

Учеба Пифагора в Египте способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени. Здесь же Пифагор попадает в персидский плен.

Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой.

Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке. Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ.

С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города-колонии Сиракузы, Агригент, Кротон. Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу.

Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую "пифагорейскую гамму" и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи "гармонии мира" и "музыки сфер", впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Многое сделал ученый и в геометрии. Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: "Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел".

В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо "ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства" (Леонардо да Винчи).

Так вот, заслуга Пифагора и состояла в том, что он, по-видимому, первым пришел к следующей мысли: в геометрии, во-первых, должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты, и, во-вторых, свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов. Эта цепочка рассуждений, которая с помощью законов логики сводит неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам, и есть математическое доказательство.

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги "Начал" Евклида, пишет: "Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка". Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Михаил Ломоносов по этому поводу писал: "Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось".

А.В.Волошинов в своей книге о Пифагоре отмечает: "И хотя сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета I (около 2000 года до нашей эры), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII веке до нашей эры), и в древнейшем китайском трактате "Чжоу-би суань цзинь" ("Математический трактат о гномоне"), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XII веке до нашей эры китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI веку до нашей эры - и общий вид теоремы, и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII–V веках до нашей эры "Сульва сутра" ("Правила веревки"), - несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания.

Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым".

Теорема Пифагора гласит: "Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах". Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Во II веке до нашей эры в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается создание древних книг. Так возникла "Математика в девяти книгах" - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В IX книге "Математики" помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами и гипотенузой. С уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной А+В, а внутренний - квадрат со стороной С, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна С в квадрате, а с другой - А+В, т. е. С=А+В. Теорема доказана.

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате "Сид-дханта широмани" ("Венец знания") крупнейшего индийского математика XII века в Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом "смотри!". Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат С перекладывается в "кресло невесты" квадрат А плюс квадрат В. Частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате "Сульва сутра" (VII–V веках до нашей эры).

Доказательство Евклида приведено в предложении 1 книги "Начал". Здесь для доказательства на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника строятся соответствующие квадраты.

"Багдадский математик и астроном X века ан-Найризий (латинизированное имя - Аннариций), - пишет Волошинов, - в арабском комментарии к "Началам" Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на пять частей, из которых составляются квадраты на катетах. Конечно, равенство всех соответствующих частей требует доказательства, но мы его за очевидностью оставляем читателю. Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений".

Автор: Самин Д.К.

 Рекомендуем интересные статьи раздела Важнейшие научные открытия:

▪ Органический синтез

▪ Дифференциальное и интегральное счисление

▪ Большой круг кровообращения

Смотрите другие статьи раздела Важнейшие научные открытия.

Читайте и пишите полезные комментарии к этой статье.

<< Назад

Последние новости науки и техники, новинки электроники:

Робот Bean-Bot без моторов и программирования 07.09.2026

Робототехнику трудно представить без электродвигателей, аккумуляторов, датчиков и управляющего программного обеспечения. Однако исследователи Итальянского технологического института продемонстрировали, что для выполнения довольно сложных движений все эти компоненты иногда вовсе не обязательны. Созданный ими миниатюрный робот Bean-Bot способен самостоятельно прыгать, катиться, скользить, переворачиваться и преодолевать наклонные поверхности, используя энергию нагрева и особенности собственной конструкции. Идея разработки возникла благодаря необычному природному механизму. За основу специалисты взяли мексиканскую фасоль, которая способна неожиданно перемещаться из-за находящейся внутри семени личинки моли. В лаборатории биомиметической мягкой робототехники эту природную особенность переосмыслили с инженерной точки зрения. Получившийся Bean-Bot представляет собой легкую оболочку характерной формы, пружину из материала с памятью формы и несколько магнитов. Основным источником энергии ...>>

Ультраширокий монитор LG 40HT513D 07.09.2026

Компания LG Electronics презентовала свой новый профессиональный дисплей 40HT513D, сочетающий большую рабочую площадь с функциями, ориентированными специально на медицинские учреждения. Монитор оснащен 40-дюймовой изогнутой IPS Black-панелью с соотношением сторон 21:9 и разрешением 5120 x 2160 пикселей, что соответствует примерно 11 мегапикселям. Такая конфигурация позволяет разместить на одном экране несколько диагностических изображений без разделительных рамок, которые неизбежно возникают при использовании отдельных мониторов. Устройство предназначено для работы с рентгеновскими снимками, компьютерной и магнитно-резонансной томографией, а также другими медицинскими изображениями и получило разрешение Управления по контролю за продуктами и лекарствами США (FDA) в качестве медицинского устройства. По оценке LG, по площади рабочего пространства один 40HT513D способен заменить конфигурацию из трех 3-мегапиксельных медицинских мониторов. Для специалистов по лучевой диагностике это ...>>

Происхождение изображений ИИ становится все труднее установить 06.09.2026

Генеративный искусственный интеллект способен создавать изображения, в которых угадываются особенности определенных художественных стилей, однако установить источник конкретного визуального элемента оказывается значительно сложнее. Исследование специалистов лаборатории MIT CSAIL показывает, что по мере увеличения обучающего набора данных надежно определить, какое именно изображение повлияло на результат работы модели, становится практически невозможно. Чтобы изучить эту проблему, исследователи создали около двух десятков собственных диффузионных моделей и обучили их на наборах, содержащих от нескольких сотен до сотен тысяч изображений. В экспериментах использовались фотографии лиц, а также произведения различных художников. Независимо от размера и состава наборов данных ученые наблюдали одну закономерность: чем больше изображений использовалось для обучения, тем труднее становилось определить вклад отдельной работы в последующий результат. Это явление авторы назвали "утратой атрибуц ...>>

Случайная новость из Архива Суперсплав, который сам себя укрепляет 06.07.2026 В материаловедении традиционно считалось, что чтобы сделать металл прочнее, нужно добавлять все больше дорогих легирующих элементов или применять сложную механическую обработку. Однако международная команда исследователей показала, что иногда достаточно дать атомам возможность самим выстроиться в идеально упорядоченную структуру. Результатом стал новый суперсплав, который в два раза прочнее стали и в три раза прочнее алюминия, и все это благодаря контролируемому процессу самоорганизации атомов, а не изменению химического состава. Сплав состоит из пяти тугоплавких металлов в равных атомных долях: гафния, ниобия, тантала, титана и циркония. Ученые сначала расплавили смесь при высокой температуре, а затем выдерживали ее при относительно умеренной температуре около 550 °C. После примерно 32 часов такой "запекания" атомы успевали перестроиться в особую высокоупорядоченную структуру. Именно этот процесс позволил получить материал с исключительными механическими свойствами. Новый сплав, относящийся к классу огнеупорных высокоэнтропийных сплавов (Refractory High-Entropy Alloy), демонстрирует сжимающий предел текучести более 2 гигапаскалей. При этом он сохраняет пластичность - не ломается хрупко, а способен деформироваться. Это важное преимущество, потому что обычно повышение прочности металлов приводит к потере гибкости и появлению хрупкости. Ключевой вклад в исследование внесли материаловед Ю Чжан из Чунцинского университета и профессор Цзян-Фэн Нэ из Университета Монаша. Они объясняют, что вместо традиционного подхода "добавить больше элементов" ученые сосредоточились на третьем измерении - организации атомов во время производства. Благодаря точному контролю температуры и времени выдержки удалось создать почти бездефектную наноструктуру, в которой зерна металла выстроены в идеально плотные и связанные ряды. Декан инженерного факультета Университета Монаша Яннис Вентикос отмечает, что на протяжении более ста лет развитие сплавов шло в основном путем изменения химического состава и методов обработки. Новый подход показывает, что можно целенаправленно проектировать, как именно атомы будут упорядочиваться внутри материала. Это открывает путь к созданию металлов с ранее недостижимым сочетанием прочности, пластичности и стабильности. Важным преимуществом метода является его потенциальная экологичность и экономичность. Вместо того чтобы добавлять все больше редких и дорогих элементов, исследователи добиваются лучших свойств за счет оптимизации внутренней структуры сплава. Это может снизить расход ресурсов и уменьшить экологический след производства высокопрочных материалов. Авторы работы видят широкие перспективы применения нового суперсплава в авиакосмической отрасли, энергетических системах и других областях, где требуются материалы, способные выдерживать экстремальные нагрузки и температуры. Однако исследование находится еще на ранней стадии. Ученым предстоит глубже понять механизмы самоорганизации атомов, чтобы адаптировать метод к другим системам сплавов и масштабировать технологию для промышленного использования.

Другие интересные новости:

▪ Compact Optical Mouse от Microsoft

▪ Экономичный гибридный мотоцикл

▪ Животные, как и люди, становятся менее общительными с возрастом

▪ Магнитный эффект Зеебека

▪ Транстихоокеанский подводный кабель Faster

Лента новостей науки и техники, новинок электроники

Интересные материалы Бесплатной технической библиотеки:

▪ раздел сайта Интересные факты. Подборка статей

▪ статья Камни возопиют. Крылатое выражение

▪ статья Как растут омары? Подробный ответ

▪ статья Бухгалтер по учету заемных средств. Должностная инструкция

▪ статья Тройной квадрат. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

▪ статья Сигнализатор опасных газов. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

Оставьте свой комментарий к этой статье:

www.diagram.com.ua
2000-2026