Бесплатная техническая библиотека

Парадокс с числами Фибоначчи. Секрет фокуса

Справочник / Эффектные фокусы и их разгадки

 Комментарии к статье

Описание фокуса:

Длины сторон четырех частей, составляющих фигуры (рис. 1 и 2), являются членами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел, начинающегося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начиная с третьего, есть сумма двух предшествующих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Рис.1

Рис. 2

Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу.

Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать: его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.

Если, например, взять квадрат в 13 х 13 единиц, то три его стороны следует разделить на отрезки длиной в 5 и 8 единиц, а затем разрезать, как показано на рис. 2. Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам. Стороны прямоугольника, образованного частями квадратов, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.

Если взять квадрат со стороной 5, то тоже произойдет потеря одной квадратной единицы. Можно сформулировать и общее правило: приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из "первой" подпоследовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (3, 8, ...) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали про свет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из "второй" подпоследовательности (2, 5, 13, ...), мы получим вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади.

Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметными становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике 3х1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется.

Используя для парадокса другие ряды Фибоначчи, можно получить: бесчисленное множество вариантов. Так, например, квадраты, основанные на ряде 2, 4, 6, 10, 16, 26 и т.д., приводят к потерям или приростам площади в 4 квадратные единицы. Величину этих потерь или приростов можно узнать, вычисляя для данного ряда разности между квадратом любого его члена и произведением двух его соседних членов слева и справа. Ряд 3,4,7, И, 18,29 и т.д. дает прирост или потерю в пять квадратных единиц.

Т. де Мулидар привел рисунок квадрата, основанного на ряде 1, 4, 5, 9, 14 и т. д. Сторона этого квадрата взята равной 9, и после преобразования его в прямоугольник теряется 11 квадратных единиц. Ряд 2, 5, 7, 12, 19,... также дает потерю или прирост в 11 квадратных единиц. В обоих случаях перекрывания (или просветы) вдоль диагонали оказываются настолько большими, что их сразу можно заметить.

Обозначив какие-нибудь три последовательных числа Фибоначчи через А, В и С, а через X - потерю или прирост площади, мы получим следующие две формулы:

А+В=С

В2=АС±Х.

Если подставить вместо X желаемый прирост или потерю, а вместо В число, которое принято за длину стороны квадрата, то можно построить квадратное уравнение, из которого найдутся два других числа Фибоначчи, хотя это, конечно, не обязательно будут рациональные числа. Оказывается, например, что, деля квадрат на фигуры с рациональными длинами сторон, нельзя получить прирост или потерю в две или три квадратные единицы. С помощью иррациональных чисел это, конечно, можно достигнуть. Так, ряд Фибоначчи √2, 2√2, 3√2, 5√ ... дает прирост или потерю в две квадратные единицы, а ряд √3, 2√3, 3√3, 5√3, ... приводит к приросту или потере в три квадратные единицы.

Автор: М.Гарднер

 Рекомендуем интересные статьи раздела Эффектные фокусы и их разгадки:

▪ Угадывание цвета дисков с завязанными глазами

▪ Карта, спрятанная в ладони

▪ Длинная карта

Смотрите другие статьи раздела Эффектные фокусы и их разгадки.

Читайте и пишите полезные комментарии к этой статье.

<< Назад

Последние новости науки и техники, новинки электроники:

Кислотность океана разрушает зубы акул 03.10.2025

Мировые океаны выполняют важнейшую функцию - они поглощают около трети углекислого газа, выбрасываемого в атмосферу. Это помогает замедлять темпы глобального потепления, но имеет и обратную сторону. Растворяясь в воде, CO2 образует угольную кислоту, которая повышает концентрацию водородных ионов и приводит к снижению pH. Вода становится более кислой, а последствия этого процесса уже заметны для морских экосистем. Средний показатель кислотности океана сейчас равен примерно 8,1, тогда как еще недавно за условную норму брали значение 8,2. По прогнозам, к 2300 году уровень может упасть до 7,3 - это сделает океан почти в десять раз кислее нынешнего состояния. Для обитателей морей подобные изменения означают не просто сдвиг химического равновесия, а реальную угрозу физиологическим процессам, начиная от формирования раковин у моллюсков и заканчивая охотничьим поведением акул. Чтобы выяснить, как именно кислотная среда отражается на зубах акул, группа немецких исследователей провела эксп ...>>

Почтовый космический корабль Arc 03.10.2025

Космические технологии становятся частью инфраструктуры, способной повлиять на логистику, медицину и даже военную сферу. Идея использовать орбиту как глобальный склад для срочных поставок звучала еще недавно как научная фантастика, но стартап Inversion пытается превратить ее в практическое решение. Компания Inversion появилась в начале 2021 года благодаря Джастину Фиаскетти и Остину Бриггсу, которые на тот момент были студентами Бостонского университета. Их замысел состоял в том, чтобы сделать возможной доставку грузов не только через спутниковые сети данных, но и в буквальном смысле - физических предметов. В основе лежит простая мысль: если космос обеспечивает доступ к любой точке Земли, то и грузы должны перемещаться тем же маршрутом. Уже за три года работы команда из 25 специалистов успела построить демонстрационный аппарат "Ray". Его запуск состоялся в рамках миссии SpaceX Transporter-12. Устройство весом 90 килограммов проверяло ключевые технологии Inversion, включая двухком ...>>

Лазерное обогащение урана 02.10.2025

Ядерная энергия остается одним из ключевых источников стабильного электричества, особенно для стран с растущими потребностями в энергоснабжении. Однако обеспечение бесперебойных поставок топлива для атомных станций требует современных технологий обогащения урана, которые одновременно эффективны и безопасны. Американская компания Global Laser Enrichment (GLE) делает значительный шаг в этом направлении, завершив масштабное тестирование лазерной технологии обогащения урана. Демонстрационная программа была проведена на объекте в Уилмингтоне, Северная Каролина. Тестирование технологии SILEX (Separation of Isotopes by Laser EXcitation), разработанной австралийской Silex Systems, стартовало в мае 2025 года и продлится до конца года. В ходе экспериментов компания планирует получить сотни фунтов низкообогащенного урана (LEU), который может быть использован в качестве топлива для атомных электростанций. GLE была создана в 2007 году для коммерциализации лазерных методов обогащения урана в С ...>>

Случайная новость из Архива Нанотаблетки с микродвигателем 16.09.2018 Самодвижущиеся частицы высвобождают активный компонент медикамента прямо в желудке, взаимодействуют с соляной кислотой, и движутся под воздействием образовавшегося водорода. Идея создать "движущиеся" таблетки, которые будут действовать в конкретном органе, зародилась уже давно. Несколько лет назад ученые создали микрочастицы из магния и цинка для лечебных целей, однако их можно было вводить лишь инъекционно. Группа ученых из Калифорнийского университета в Сан-Диего во главе с Джозефом Ваном несколько лет работали над созданием микродвигателей для таблеток, которые можно было бы принимать перорально. Недавно специалисты совершили серьезный прорыв в своей работе: они разработали микродвигатели для таблеток, которые беспрепятственно достигают дна желудка, и активируются после контакта с соляной кислотой. Их сферические микродвигатели, состоящие из магниевого ядра и покрытые слоем кислоточувствительного диоксида титана, размером не превышают 20 микрометров. Поверхностный слой частиц покрыт 100-нанометровый слоем хитозана, который обеспечивает прикрепление нанотаблетки к стенке желудка. Магниевое ядро в свободном участке может взаимодействовать с соляной кислотой. Защищает всю систему оболочка из смеси мальтозы и лактозы. Нанотаблетки с микродвигателем уже успешно протестировали с флуоресцентными красителями на лабораторных крысах, которые помогли отследить процесс высвобождения лекарства. Однако применение таких микродвигателей затруднительно из-за ряда важных проблем, например, невозможности их массового производства.

Другие интересные новости:

▪ Океаны теряют кислород

▪ Компакт-диск в роли дозиметра

▪ Светофоры скоро исчезнут с дорог

▪ Робот обманывает робота

▪ Эликсир долголетия с острова Пасхи

Лента новостей науки и техники, новинок электроники

Интересные материалы Бесплатной технической библиотеки:

▪ раздел сайта Звонки и аудио-имитаторы. Подборка статей

▪ статья Капля на кордодроме. Советы моделисту

▪ Как проходили Пунические войны? Подробный ответ

▪ статья Теф (тефф). Легенды, выращивание, способы применения

▪ статья Факсимильный аппарат - принтер и сканер. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

▪ статья Схема, распиновка (распайка) кабеля для телефонов Motorola T191. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

Оставьте свой комментарий к этой статье:

www.diagram.com.ua
2000-2025