Бесплатная техническая библиотека

Парадокс с числами Фибоначчи. Секрет фокуса

Справочник / Эффектные фокусы и их разгадки

 Комментарии к статье

Описание фокуса:

Длины сторон четырех частей, составляющих фигуры (рис. 1 и 2), являются членами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел, начинающегося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начиная с третьего, есть сумма двух предшествующих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Рис.1

Рис. 2

Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу.

Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать: его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.

Если, например, взять квадрат в 13 х 13 единиц, то три его стороны следует разделить на отрезки длиной в 5 и 8 единиц, а затем разрезать, как показано на рис. 2. Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам. Стороны прямоугольника, образованного частями квадратов, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.

Если взять квадрат со стороной 5, то тоже произойдет потеря одной квадратной единицы. Можно сформулировать и общее правило: приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из "первой" подпоследовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (3, 8, ...) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали про свет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из "второй" подпоследовательности (2, 5, 13, ...), мы получим вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади.

Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметными становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике 3х1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется.

Используя для парадокса другие ряды Фибоначчи, можно получить: бесчисленное множество вариантов. Так, например, квадраты, основанные на ряде 2, 4, 6, 10, 16, 26 и т.д., приводят к потерям или приростам площади в 4 квадратные единицы. Величину этих потерь или приростов можно узнать, вычисляя для данного ряда разности между квадратом любого его члена и произведением двух его соседних членов слева и справа. Ряд 3,4,7, И, 18,29 и т.д. дает прирост или потерю в пять квадратных единиц.

Т. де Мулидар привел рисунок квадрата, основанного на ряде 1, 4, 5, 9, 14 и т. д. Сторона этого квадрата взята равной 9, и после преобразования его в прямоугольник теряется 11 квадратных единиц. Ряд 2, 5, 7, 12, 19,... также дает потерю или прирост в 11 квадратных единиц. В обоих случаях перекрывания (или просветы) вдоль диагонали оказываются настолько большими, что их сразу можно заметить.

Обозначив какие-нибудь три последовательных числа Фибоначчи через А, В и С, а через X - потерю или прирост площади, мы получим следующие две формулы:

А+В=С

В2=АС±Х.

Если подставить вместо X желаемый прирост или потерю, а вместо В число, которое принято за длину стороны квадрата, то можно построить квадратное уравнение, из которого найдутся два других числа Фибоначчи, хотя это, конечно, не обязательно будут рациональные числа. Оказывается, например, что, деля квадрат на фигуры с рациональными длинами сторон, нельзя получить прирост или потерю в две или три квадратные единицы. С помощью иррациональных чисел это, конечно, можно достигнуть. Так, ряд Фибоначчи √2, 2√2, 3√2, 5√ ... дает прирост или потерю в две квадратные единицы, а ряд √3, 2√3, 3√3, 5√3, ... приводит к приросту или потере в три квадратные единицы.

Автор: М.Гарднер

 Рекомендуем интересные статьи раздела Эффектные фокусы и их разгадки:

▪ Самоочищающийся банан

▪ Исчезновение шара из кулака

▪ Закрытая монета

Смотрите другие статьи раздела Эффектные фокусы и их разгадки.

Читайте и пишите полезные комментарии к этой статье.

<< Назад

Последние новости науки и техники, новинки электроники:

Хорошо управляемые луга могут компенсировать выбросы от скота 15.02.2026

Животноводство, особенно разведение крупного рогатого скота, часто обвиняют в значительном вкладе в глобальное потепление из-за мощного парникового газа - метана, который выделяется при пищеварении у жвачных животных. Это вызывает острые политические споры и призывы к сокращению потребления мяса. Однако ученые напоминают, что полная картина климатического воздействия отрасли не ограничивается только выбросами от животных: огромную роль играет окружающая экосистема - пастбища, почва и растительность, которые способны активно поглощать углекислый газ из атмосферы. Исследователи из Университета Небраски-Линкольна решили глубже изучить этот баланс. Группа под руководством профессора Галена Эриксона сосредоточилась на том, как правильно организованные пастбища накапливают углерод в растениях и грунте благодаря естественным процессам, стимулируемым выпасом скота. Ученые подчеркивают, что при достаточном уровне осадков и грамотном управлении такие луга превращаются в мощные природные погло ...>>

NASA тестирует инновационную технологию крыла 15.02.2026

Коммерческая авиация ежегодно расходует колоссальные объемы керосина, что сказывается не только на бюджете авиакомпаний, но и на состоянии окружающей среды. В 2024 году глобальные затраты на авиационное топливо достигли 291 миллиарда долларов, и эта сумма продолжает расти. Чтобы справиться с этими вызовами, NASA активно работает над технологиями, способными заметно повысить аэродинамическую эффективность самолетов. Одним из самых перспективных направлений стало создание специальной конструкции крыла, которая максимизирует естественный ламинарный поток воздуха и минимизирует сопротивление. В январе 2026 года специалисты NASA Armstrong Flight Research Center успешно провели важный этап наземных испытаний концепции Crossflow Attenuated Natural Laminar Flow (CATNLF). Для эксперимента под фюзеляж исследовательского самолета F-15B закрепили вертикально ориентированную масштабную модель высотой около 0,9 м (3 фута), напоминающую узкий киль. Такая компоновка позволила подвергнуть прототип р ...>>

Забота о внуках очень полезна для здоровья мозга 14.02.2026

Общение между поколениями приносит радость всей семье, но мало кто задумывается, насколько активно бабушки и дедушки, заботящиеся о внуках, поддерживают свою умственную форму. Регулярное взаимодействие с детьми стимулирует мозг пожилых людей, помогая сохранять память, скорость мышления и общую когнитивную активность. Новые научные данные подтверждают, что такая добровольная помощь не только важна для общества, но и может замедлять возрастные изменения в мозге. Исследователи из Тилбургского университета в Нидерландах провели анализ, чтобы понять, приносит ли уход за внуками реальную пользу здоровью пожилых людей. Ведущий автор работы Флавия Черечес отметила, что многие бабушки и дедушки регулярно присматривают за детьми, и оставался открытым вопрос, насколько это положительно сказывается на их собственном благополучии, особенно в плане когнитивных функций. Ученые поставили цель выяснить, способен ли регулярный уход за внуками замедлить снижение памяти и других умственных способ ...>>

Случайная новость из Архива Белые медведи вдохновили на создание плаща-невидимки 22.04.2018 Выживать в холодном климате белым медведям позволяет особая структура шерсти: ее полупрозрачные волоски пропускают только ультрафиолетовые лучи, отражая инфракрасные. Это служит отличной теплоизоляцией и делает медведя невидимым для инфракрасных камер. Эти свойства натолкнули ученых из Чжэцзянского университета на идею создания камуфляжа, невидимого в инфракрасном свете. Материал был создан на основе шелка. Добиться нужного результата удалось после применения лиофилизации - одного из методов замораживания. Волокна стали более хрупкими, но в них появились цепочки пор, в которых сохраняется воздух. Как и шерсть белого медведя, материал обладает повышенными теплоизолирующими качествами: между наружной и внутренней сторонами он может удерживать разницу в температуре до 4 °C. Несколько слоев материала делают изделие из него еще теплее. Кроме того, новая ткань, как и шкура белых медведей, остается невидимой для инфракрасных камер. Ученые показали это на примере кроликов, для которых сшили "плащи-невидимки". Материалу может найтись широкое практическое применение, в первую очередь - в военной промышленности. Из него можно шить невидимую и практичную камуфляжную одежду. Правда, перед тем, как вывести материал на рынок, ученые планируют доработать технологию. Сейчас лиофилизация требует слишком много времени, делая производство медленным и нерентабельным.

Другие интересные новости:

▪ Новые проекционные телевизоры Toshiba

▪ Электрический лайнер для коротких перелетов

▪ Микропластик в поваренной соли

▪ Стресс заставляет организм стареть быстрее

▪ Обнаружен самый древний в мире сыр

Лента новостей науки и техники, новинок электроники

Интересные материалы Бесплатной технической библиотеки:

▪ раздел сайта Инструмент электрика. Подборка статей

▪ статья На том стою, и не могу иначе. Крылатое выражение

▪ статья Какой вопрос задавала Сфинкс проходящим фиванцам и кто ее научил этому вопросу? Подробный ответ

▪ статья Дицентра. Легенды, выращивание, способы применения

▪ статья Общие сведения по туалетным мылам. Простые рецепты и советы

▪ статья Страшилка. Секрет фокуса

Оставьте свой комментарий к этой статье:

www.diagram.com.ua
2000-2026