Бесплатная техническая библиотека

Парадокс с числами Фибоначчи. Секрет фокуса

Справочник / Эффектные фокусы и их разгадки

 Комментарии к статье

Описание фокуса:

Длины сторон четырех частей, составляющих фигуры (рис. 1 и 2), являются членами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел, начинающегося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начиная с третьего, есть сумма двух предшествующих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Рис.1

Рис. 2

Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу.

Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать: его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.

Если, например, взять квадрат в 13 х 13 единиц, то три его стороны следует разделить на отрезки длиной в 5 и 8 единиц, а затем разрезать, как показано на рис. 2. Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам. Стороны прямоугольника, образованного частями квадратов, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.

Если взять квадрат со стороной 5, то тоже произойдет потеря одной квадратной единицы. Можно сформулировать и общее правило: приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из "первой" подпоследовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (3, 8, ...) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали про свет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из "второй" подпоследовательности (2, 5, 13, ...), мы получим вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади.

Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметными становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике 3х1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется.

Используя для парадокса другие ряды Фибоначчи, можно получить: бесчисленное множество вариантов. Так, например, квадраты, основанные на ряде 2, 4, 6, 10, 16, 26 и т.д., приводят к потерям или приростам площади в 4 квадратные единицы. Величину этих потерь или приростов можно узнать, вычисляя для данного ряда разности между квадратом любого его члена и произведением двух его соседних членов слева и справа. Ряд 3,4,7, И, 18,29 и т.д. дает прирост или потерю в пять квадратных единиц.

Т. де Мулидар привел рисунок квадрата, основанного на ряде 1, 4, 5, 9, 14 и т. д. Сторона этого квадрата взята равной 9, и после преобразования его в прямоугольник теряется 11 квадратных единиц. Ряд 2, 5, 7, 12, 19,... также дает потерю или прирост в 11 квадратных единиц. В обоих случаях перекрывания (или просветы) вдоль диагонали оказываются настолько большими, что их сразу можно заметить.

Обозначив какие-нибудь три последовательных числа Фибоначчи через А, В и С, а через X - потерю или прирост площади, мы получим следующие две формулы:

А+В=С

В2=АС±Х.

Если подставить вместо X желаемый прирост или потерю, а вместо В число, которое принято за длину стороны квадрата, то можно построить квадратное уравнение, из которого найдутся два других числа Фибоначчи, хотя это, конечно, не обязательно будут рациональные числа. Оказывается, например, что, деля квадрат на фигуры с рациональными длинами сторон, нельзя получить прирост или потерю в две или три квадратные единицы. С помощью иррациональных чисел это, конечно, можно достигнуть. Так, ряд Фибоначчи √2, 2√2, 3√2, 5√ ... дает прирост или потерю в две квадратные единицы, а ряд √3, 2√3, 3√3, 5√3, ... приводит к приросту или потере в три квадратные единицы.

Автор: М.Гарднер

 Рекомендуем интересные статьи раздела Эффектные фокусы и их разгадки:

▪ Повелитель пипетки

▪ Оторванный палец

▪ Разложи фокус

Смотрите другие статьи раздела Эффектные фокусы и их разгадки.

Читайте и пишите полезные комментарии к этой статье.

<< Назад

Последние новости науки и техники, новинки электроники:

Власть является ключевым фактором счастья в отношениях 11.03.2026

Исследования семейных и романтических отношений показывают, что длительное счастье пары зависит не только от привычных факторов, таких как доверие, уважение и преданность, но и от более тонких психологических аспектов. Современные ученые ищут закономерности, которые отличают действительно счастливые пары от остальных, чтобы понять, какие механизмы поддерживают гармонию в отношениях. Группа исследователей из Университета Мартина Лютера в Галле-Виттенберге и Бамбергского университета провела опрос среди 181 пары, которые состояли в совместных отношениях более восьми лет и прожили вместе хотя бы месяц. Участники заполняли анкету, описывая различные аспекты своих отношений, включая распределение обязанностей, эмоциональную поддержку и степень вовлеченности в совместные решения. Анализ данных показал интересный паттерн: пары, где оба партнера ощущали высокий уровень личной власти, оказывались наиболее счастливыми и удовлетворенными. В данном контексте под властью понимается способност ...>>

Защищенная колонка-повербанк Anker Soundcore Boom Go 3i 11.03.2026

Компания Anker представила новую модель линейки Soundcore - колонку Soundcore Boom Go 3i, ориентированную на активное использование на улице. Новинка отличается высокой степенью защиты: корпус соответствует стандарту IP68, что обеспечивает водо- и пыленепроницаемость, а ударопрочный дизайн выдерживает падение с высоты до одного метра. За качество звука отвечает 15-ваттный драйвер, обеспечивающий пик громкости до 92 дБ, а технология BassUp 2.0 усиливает низкие частоты, делая звучание более насыщенным. Колонка обладает автономностью до 24 часов, а LED-индикатор позволяет контролировать уровень заряда батареи. Кроме того, Soundcore Boom Go 3i может выполнять функцию павербанка: согласно внутренним тестам, устройство способно зарядить iPhone 17 с нуля до 40% за один час, что делает его полезным аксессуаром в походах и поездках. Среди функциональных особенностей модели стоит выделить технологию Auracast, которая улучшает подключение и позволяет создавать стереопару из двух колонок ...>>

Раннее воздержание от алкоголя перестраивает мозг и иммунитет 10.03.2026

Алкогольная зависимость - хроническое расстройство с компульсивным употреблением спиртного, которое влияет не только на поведение, но и на функционирование мозга и иммунной системы. Недавние исследования показали, что даже на ранних этапах воздержания организм начинает перестраиваться, открывая новые возможности для терапии зависимости. Ученые сосредоточились на пациентах, находящихся в первые недели абстиненции, и зафиксировали значительные изменения в мозговой активности. С помощью функциональной магнитно-резонансной томографии они выявили перестройку сетей нейронных связей, отвечающих за контроль импульсов и принятие решений. Эти изменения могут быть ключевыми для восстановления самоконтроля и снижения риска рецидива. Одновременно с нейронной перестройкой исследователи наблюдали колебания иммунной системы. В крови повышался уровень цитокинов - сигнальных белков, регулирующих воспалительные процессы. Эти данные свидетельствуют о существовании нейроиммунного взаимодействия, при ...>>

Случайная новость из Архива Компас голубя 05.12.2007 Магнитная стрелка, помогающая голубю возвращаться в родной дом, находится в его клюве. Ее обнаружили исследователи из университета Франкфурта-на-Майне (Германия). В разветвленных отростках нейронов, расположенных по краю верхней половинки клюва голубя, найдены частицы магнитных окислов железа. Нервные волокна сплетены в сложную объемную сеть, что позволяет птице анализировать отдельно характеристики магнитного поля Земли по трем пространственным осям.

Другие интересные новости:

▪ Как поймать радугу

▪ Быстрое измерение параметров магнитного поля

▪ Гравитационные волны помогут предсказывать цунами

▪ Названо лучшее время для обеда

▪ Электронный планшет вместо учебников и тетрадей

Лента новостей науки и техники, новинок электроники

Интересные материалы Бесплатной технической библиотеки:

▪ раздел сайта Инфракрасная техника. Подборка статей

▪ статья Верхняя Вольта с баллистическими ракетами. Крылатое выражение

▪ статья Где и когда разразилась эпидемия смеха, охватившая около 1000 детей? Подробный ответ

▪ статья Чабер многолетний. Легенды, выращивание, способы применения

▪ статья Транзисторный конвертер на 144 МГц. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

▪ статья Корейские пословицы и поговорки. Большая подборка

Оставьте свой комментарий к этой статье:

www.diagram.com.ua
2000-2026