Menu English Ukrainian Russian Home

Бесплатная техническая библиотека для любителей и профессионалов Бесплатная техническая библиотека


Теория групп. История и суть научного открытия

Важнейшие научные открытия

Справочник / Важнейшие научные открытия

Комментарии к статье Комментарии к статье

Группами перестановок корней занимались ранее других Лагранж и Гаусс. Но бесспорна заслуга того, кто сформулировал существенные свойства понятий, применил их к решению новых и трудных задач. Это сделал французский математик Галуа для понятия группы. Только после его работ оно стало предметом изучения математиков.

Эварист Галуа (1811–1832) родился в городе Бур-ля-Рен. В 1823 году родители отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж в Париже. Здесь он увлекся математикой и стал самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лагранжа, Гаусса.

Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа. Ему, как когда-то Абелю, кажется, что он нашел решение уравнения пятой степени. Он предпринимает безуспешную попытку поступить в Политехническую школу, но знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.

Здесь ему впервые улыбается счастье - он встречает учителя, который смог оценить его гениальность. Ришар умел подниматься выше официальных программ, он был в курсе успехов наук и стремился расширить кругозор своих учеников. Отзывы Ришара о Эваристе просты: "Он работает лишь в высших областях математики".

И действительно, уже в семнадцать лет Галуа получает первые научные результаты. В 1829 году была опубликована его заметка "Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях". Тогда же Галуа представил в Парижскую академию наук другую работу. Она затерялась у Коши.

Галуа пытается вторично поступить в Политехническую школу, и вновь неудача. К этому вскоре добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный политическими противниками, его отец покончил с собой. Обрушившиеся на Эвариста несчастья неизбежно повлияли на него: он стал нервным и вспыльчивым.

В 1829 году Галуа поступил в Нормальную школу. В ней готовились кандидаты на звание преподавателя. Здесь Эварист выполнил исследование по теории алгебраических уравнений и в 1830 году представил работу на конкурс Парижской академии наук Его судьба была в руках бессменного секретаря Академии - Фурье. Фурье начинает читать рукопись, но вскоре умирает. Вторая рукопись, как и первая, исчезает.

В жизни Галуа наступило время, заполненное важными событиями. Он примкнул к республиканцам, вступил в "Общество друзей народа" и записался в артиллерию Национальной гвардии. За выступление против руководства его исключили из Нормальной школы.

14 июля 1831 года, в ознаменование очередной годовщины взятия Бастилии, состоялась манифестация республиканцев. Полиция арестовала многих манифестантов, среди них был и Галуа. Суд над Галуа состоялся 23 октября 1831 года. Его осудили на 9 месяцев заключения. Галуа продолжал свои исследования и в тюрьме.

Утром 30 мая 1832 года на дуэли в местечке Жантийи Галуа был смертельно ранен пулей в живот. Через день он скончался.

Математические работы Галуа, по крайней мере, те, что сохранились, составляют шестьдесят небольших страниц. Никогда еще труды столь малого объема не доставляли автору такой широкой известности.

В 1832 году Галуа, сидя в тюрьме, составляет программу, которую опубликовали лишь спустя семьдесят лет после его смерти. Но и в начале двадцатого века она не вызвала серьезного интереса и скоро была забыта. Только математики нового времени, продолжившие работу многих поколений ученых, осуществили, наконец, мечту Галуа.

"Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц", - так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Однако идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было ученому.

"...Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам, - вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.

Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет.

Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При этом самые сложные из известных сейчас преобразований (эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма полезные и даже необходимые, но все же не общие, так что отказ от дальнейших более широких исследований был бы роковой ошибкой. Придет время, и преобразования, о которых идет речь в намеченном здесь высшем анализе, будут действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а не по виду возникающих здесь функций".

Здесь надо обязательно обратить внимание на слова "сгруппировать математические операции". Галуа, несомненно, подразумевает под этим теорию групп.

В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие идеи, определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей. Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго вперед. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид Гильберт назвал эту теорию "установлением определенного остова понятий". Но какое бы название за ней не укрепилось, очевидно, что она охватывает очень большую область знаний.

"В математике, как в любой другой науке, - писал Галуа, - есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания".

Одна из проблем, над которой работал Эварист Галуа, - решение алгебраических уравнений. Что будет, если рассматривать лишь уравнения с числовыми коэффициентами? Ведь может же случиться, что хотя общей формулы для решения таких уравнений нет, корни каждого отдельного уравнения можно выразить в радикалах. А если это не так? Тогда должен быть какой-то признак, позволяющий определить, решается данное уравнение в радикалах или нет? Что же это за признак?

Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т. е. установил некоторые из "свойств" этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его "группу", или, образно говоря, его "семью".

"Группа, - пишет А. Дальма, - это совокупность предметов, имеющих определенные общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве "предметов" могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве "предметов" выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы "предметов" ни состояла группа: из чисел, движений или операций, - все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность "предметов" можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе".

Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить "основные черты" той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.

Галуа стремится внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп - это, прежде всего, наведение порядка в математическом языке.

Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики - появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.

Автор: Самин Д.К.

 Рекомендуем интересные статьи раздела Важнейшие научные открытия:

▪ Второй закон термодинамики

▪ Квантовая механика

▪ Микробы

Смотрите другие статьи раздела Важнейшие научные открытия.

Читайте и пишите полезные комментарии к этой статье.

<< Назад

Последние новости науки и техники, новинки электроники:

Использование Apple Vision Pro во время операций 16.03.2024

Медицинская команда больницы Кромвеля в Лондоне впервые применила Apple Vision Pro в ходе двух операций на позвоночнике. Это событие подтверждает потенциал гарнитуры в качестве медицинского инструмента, изменяющего подход к хирургической практике. Хотя сами врачи не использовали Vision Pro, операционная медсестра работала с виртуальной реальностью, используя очки во время подготовки и выполнения процедур. Гарнитура позволила просматривать виртуальные экраны в операционной, выбирать инструменты и следить за ходом операции. Программное обеспечение, разработанное компанией eXeX, специализирующейся на создании приложений на основе искусственного интеллекта для хирургии, существенно улучшило процесс оказания медицинской помощи пациентам. Использование Apple Vision Pro открывает новые возможности для разработки приложений в сфере здравоохранения, таких как клиническое образование, планирование операций, обучение и медицинская визуализация. Внедрение Apple Vision Pro в медицинскую пр ...>>

Хранение углерода в Северное море 16.03.2024

Министр энергетики Норвегии Терье Осланд объявил о запуске проекта Longship, нацеленного на создание центрального хранилища углекислого газа в Северном море. Этот амбициозный проект оценивается в $2,6 млрд и направлен на применение технологии CCS (углеродного захвата и хранения) для смягчения воздействия климатических изменений. Норвегия уже имеет опыт в области CCS благодаря успешным проектам Sleipner и Snohvit, и сейчас стремится увеличить объем углерода, запечатываемого под морским дном. План Longship предусматривает создание мощности по захвату и хранению 1,5 млн. тонн углерода ежегодно в течение 25 лет. Несмотря на позитивные перспективы, существуют опасения по поводу долгосрочных последствий такого хранения. Однако сторонники проекта утверждают, что морское хранение углерода имеет ряд преимуществ, включая минимальное воздействие на окружающую среду. Проект Longship осуществляется при участии компаний Equinor, Shell и TotalEnergies через совместное предприятие Northern Li ...>>

Выращены мини-органы из амниотической жидкости человека 15.03.2024

Международная команда ученых под руководством профессора Фань Сюлиня из Университета Чжэцзян разработала уникальный способ выращивания мини-органов из клеток, обнаруженных в амниотической жидкости человека. Этот значительный прорыв в медицине может привести к улучшению диагностики и лечения врожденных заболеваний. Органоиды, представляющие собой трехмерные клеточные структуры, имитирующие органы в меньшем масштабе, были выращены из клеток легких, почек и тонкого кишечника, найденных в амниотической жидкости. Этот метод открывает новые возможности для изучения различных состояний плода и может стать ключом к ранней диагностике и лечению врожденных дефектов. Хотя пока не проводились попытки использования этого метода в лечении, ученые надеются, что их исследования в будущем помогут бороться с серьезными врожденными заболеваниями, которые затрагивают миллионы новорожденных ежегодно. Этот прорыв может изменить практику медицинских вмешательств, позволяя диагностировать и лечить врожд ...>>

Случайная новость из Архива

Датчик скорости вращения VG481V1 13.08.2020

Новый датчик VG481V1 от Honeywell предназначен для измерения скорости вращения зубчатого колеса из черного металла.

Датчик позволяет обнаруживать факт прохождения зубца шестерни. Движущийся зуб шестерни изменяет магнитное поле, создаваемое смещающим магнитом, что и регистрируется датчиком Холла. Благодаря двухпиковой схеме обнаружения VG481V1 позволяет измерять скорость вращения зубчатого колеса с высокой надежностью.

Датчик скорости VG481V1 используется в автомобильных коробках передач и, в общем случае, применим в любых трансмиссиях и механизмах, где необходимо отслеживать вращение зубчатого колеса из черного металла.

VG481V1 включает в себя регулятор напряжения, тактовый генератор, элемент Холла, усилитель, схему обнаружения максимума и минимума, компаратор и выходной каскад. Датчик защищен от нештатной работы при напряжении ниже минимального порога, выход микросхемы устойчив к короткому замыканию.

Схема питания нечувствительна к обратной полярности напряжения. При подаче питания на датчик схема запуска не разрешает работу до установления стабильных показаний. VG481V1 позволяет определять нулевую скорость вращения.

Датчик доступен в тонком корпусе типоразмера TO-92.

Основные параметры датчика Холла VG481V1:

Измерение скорости вращения;
Фиксация нулевой скорости;
Низкая цена и простое включение;
Напряжение питания от 4 до 24 В;
Рабочая температура от -40 до 150°C;
Выходной ток до 20 мА (открытый коллектор);
Защита выхода от короткого замыкания;
Защита от обратной полярности;
Сертифицирован AEC-Q100 (Grade 0).

Другие интересные новости:

▪ В недрах Земли гелий поможет удержать железо и кислород

▪ Диабет 2 типа повышает риск развития ранней деменции

▪ Разгадан феномен женского чутья

▪ Электронная книга Amazon Kindle

▪ Процессор WonderMedia Prizm WM8880 для мобильных устройств

Лента новостей науки и техники, новинок электроники

 

Интересные материалы Бесплатной технической библиотеки:

▪ раздел сайта Измерительная техника. Подборка статей

▪ статья Масленка с хоботком. Советы домашнему мастеру

▪ статья Как возникли дуэли? Подробный ответ

▪ статья Птерокарпус сумчатый. Легенды, выращивание, способы применения

▪ статья Универсальное охранное устройство. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

▪ статья Опыты с ферментами: амилазы. Химический опыт

Оставьте свой комментарий к этой статье:

Имя:


E-mail (не обязательно):


Комментарий:





All languages of this page

Главная страница | Библиотека | Статьи | Карта сайта | Отзывы о сайте

www.diagram.com.ua

www.diagram.com.ua
2000-2024