Menu English Ukrainian Russian Home

Бесплатная техническая библиотека для любителей и профессионалов Бесплатная техническая библиотека


Основная теорема алгебры. История и суть научного открытия

Важнейшие научные открытия

Справочник / Важнейшие научные открытия

Комментарии к статье Комментарии к статье

"Основная теорема алгебры в виде утверждения: алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его степень, высказана Жираром и Декартом, - отмечает в своей книге "В мире уравнений" В.А. Никифоровский. - Ее формулировка, состоящая в том, что алгебраический многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение действительных линейных и квадратичных множителей, принадлежит Д'Аламберу и Эйлеру. Эйлер впервые сообщил об этом в письме Николаю I Бернулли (1687–1759) от 1 сентября 1742 года. Отсюда следовало, что корни алгебраических уравнений с действительными коэффициентами принадлежат полю комплексных чисел".

Первое доказательство теоремы предпринял в 1746 году Д'Аламбер (1717–1783). Доказательство основной теоремы алгебры, выполненное Д'Аламбером, было, однако, аналитическим, а не алгебраическим. Французский математик воспользовался не оформившимися еще в то время понятиями анализа, такими, как степенной ряд, бесконечно малая. Неудивительно, что доказательство теоремы страдало погрешностями и позднее подверглось разгромной критике Гаусса, а затем было забыто.

Новый и значительный шаг в доказательстве основной теоремы алгебры сделал Эйлер.

Леонард Эйлер (1707–1783) родился в Базеле. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базельский университет для слушания философии.

Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.

Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его все больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме своего учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли - Николаем и Даниилом - возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Леонарда.

В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук. Они способствовали тому, что и Эйлер переехал в Россию.

Открытия Эйлера, которые благодаря его оживленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т. е. действительным членом Академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д Бернулли, возвратившийся в этом году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашел своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к "ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру", в 1737 году - к "знаменитейшему и остроумнейшему математику", а в 1745 году - к "несравненному Леонарду Эйлеру - главе математиков".

В 1736 году появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая. Немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике еще не имелось.

В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году - новая теория музыки.

В конце 1740 года власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что "положение начало представляться довольно неуверенным", приглашение принял.

В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной королевской Академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере остается и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа - вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж, и сложилась новая наука.

Доказательство Эйлера основной теоремы алгебры опубликовано в 1751 году в работе "Исследования о воображаемых корнях уравнений".

Эйлер выполнил наиболее алгебраическое доказательство теоремы. Позднее его основные идеи повторялись и углублялись другими математиками. Так, методы исследования уравнений получили развитие сначала у Лагранжа, а затем вошли составной частью в теорию Галуа.

Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.

Значения чисел, не являющиеся действительными, "Эйлер называл воображаемыми, - пишет Никифоровский, - и указывал, что обычно считают их такими, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа Следовательно, если воображаемых корней будет 2 т, то это даст т действительных квадратичных множителей в представлении многочлена. Эйлер пишет. "Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, еще не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи".

Такой же концепции придерживались Лагранж, Лаплас и некоторые другие последователи Эйлера. Не согласен с ней был Гаусс.

Эйлер сформулировал три теоремы, вытекающие из свойств непрерывных функций.

1. Уравнение нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечетно.

2. Уравнение четной степени либо имеет четное число действительных корней, либо не имеет их совсем.

3. Уравнение четной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по меньшей мере два действительных корня разных знаков.

Вслед за этим Эйлер доказал теоремы о разложимости на линейные и квадратичные действительные множители многочленов с действительными коэффициентами...

При доказательстве основной теоремы Эйлер установил два свойства алгебраических уравнений: 1) рациональная функция корней уравнения, принимающая при всех возможных перестановках корней А различных значений, удовлетворяет уравнению степени А, коэффициенты которого выражаются рационально через коэффициенты данного уравнения; 2) если рациональная функция корней уравнения инвариантна (не меняется) относительно перестановок корней, то она рационально выражается через коэффициенты исходного уравнения".

П.С. Лаплас в лекциях по математике 1795 года, вслед за Эйлером и Лагранжем, допускает разложение многочлена на множители. При этом Лаплас доказывает, что они будут действительными.

Таким образом, и Эйлер, и Лагранж, и Лаплас строили доказательство основной теоремы алгебры на предположении существования поля разложения многочлена на множители.

Особая роль в доказательствах основной теоремы принадлежит "королю математиков" Гауссу.

Карл Фридрих Гаусс родился (1777–1855) в Брауншвейге. Он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. В семь лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную школу. В 1788 году Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не знает, кем он хочет стать - математиком или филологом.

О Гауссе узнают при дворе. В 1791 году его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду - герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 года поступить в Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.

В 1795 году Гаусса охватывает страстный интерес к целым числам. Осенью того же года Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в его руки литературу: работы Эйлера и Лагранжа.

"30 марта 1796 года наступает для него день творческого крещения. - пишет Ф. Клейн, - Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории "первообразных" корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника... Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике".

Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей неевклидовой геометрии Янош Бойяи называл его "самым блестящим открытием нашего времени или даже всех времен". Только трудно было это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину великого норвежского математика Абеля, доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем о трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 году Абель пишет из Германии: "Если даже Гаусс - величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли..." Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой "столько замечательных теорем, что просто не верится". Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.

Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю жизнь.

30 марта 1796 года, в день, когда был построен правильный семнад-цатиугольник, начинается дневник Гаусса - летопись его замечательных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы квадратичного закона взаимности, которую он назвал "золотой". Частные случаи этого утверждения доказали Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс нашел полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал о работах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к "золотой теореме" он прошел самостоятельно!

Два великих открытия Гаусс сделал на протяжении всего 10 дней, за месяц до того, как ему исполнилось 19 лет! Одна из самых удивительных сторон "феномена Гаусса" заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.

В 1801 году вышли знаменитые "Арифметические исследования" Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса. "Арифметические исследования" оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел.

В Брауншвейге Гаусс не имел возможности знакомиться с литературой, необходимой для работы над "Арифметическими исследованиями". Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 году Гаусс подготовил диссертацию, посвященную доказательству основной теоремы алгебры.

Гаусс оставил после себя сразу четыре доказательства основной теоремы алгебры. Первому доказательству он посвятил выпущенную в 1799 году докторскую диссертацию под названием "Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одного непременного может быть разложена на действительные множители первой и второй степени".

Гаусс не преминул обратить внимания на пробелы у Эйлера, а главное, подверг критике саму постановку вопроса, когда заранее предполагалось существование корней уравнений.

Первое доказательство Гаусса, как и Д'Аламбера, было аналитическим. Во втором доказательстве, выполненном им в 1815 году, знаменитый математик опять вернулся к критике доказательства основной теоремы алгебры при помощи рассуждения, когда заранее предполагается существование корней уравнения.

Гаусс так пояснил во вводном параграфе необходимость нового доказательства: "Хотя доказательство о разложении целой рациональной функции на множители, которое я дал в мемуаре, опубликованном 16 лет тому назад, не оставляет желать лучшего в отношении строгости и простоты, надо надеяться, что математики не будут считать нежелательным, что я вновь возвращаюсь к этому чрезвычайно важному вопросу и предпринимаю построение второго не менее строгого доказательства, исходя из совершенно иных принципов. А именно, это первое доказательство зависело частично от геометрических рассмотрений, тогда как то, которое я здесь начинаю объяснять, покоится на чисто аналитических принципах". Надо заметить, то, что Гаусс называет аналитическим методом, сегодня именуется алгебраическим.

Для доказательства Гаусс использовал построения поля разложения многочлена. Прошло более шестьдесяти лет, когда и Л Кронекер усовершенствовал и развил метод Гаусса для построения поля разложения любого многочлена. Впоследствии Гаусс дал еще два доказательства основной теоремы алгебры. Четвертое и последнее относится к 1848 году.

Главный итог доказательств основной теоремы алгебры Эйлером, Лагранжем и Гауссом, считает И.Г. Башмакова, было то, что "алгебраические доказательства основной теоремы алгебры ценны именно тем, что для их проведения были развиты новые глубокие методы самой алгебры и были испробованы силы уже созданных методов и приемов".

Автор: Самин Д.К.

 Рекомендуем интересные статьи раздела Важнейшие научные открытия:

▪ Закон простых объемных отношений

▪ Основная теорема алгебры

▪ Классификация растений

Смотрите другие статьи раздела Важнейшие научные открытия.

Читайте и пишите полезные комментарии к этой статье.

<< Назад

Последние новости науки и техники, новинки электроники:

Использование Apple Vision Pro во время операций 16.03.2024

Медицинская команда больницы Кромвеля в Лондоне впервые применила Apple Vision Pro в ходе двух операций на позвоночнике. Это событие подтверждает потенциал гарнитуры в качестве медицинского инструмента, изменяющего подход к хирургической практике. Хотя сами врачи не использовали Vision Pro, операционная медсестра работала с виртуальной реальностью, используя очки во время подготовки и выполнения процедур. Гарнитура позволила просматривать виртуальные экраны в операционной, выбирать инструменты и следить за ходом операции. Программное обеспечение, разработанное компанией eXeX, специализирующейся на создании приложений на основе искусственного интеллекта для хирургии, существенно улучшило процесс оказания медицинской помощи пациентам. Использование Apple Vision Pro открывает новые возможности для разработки приложений в сфере здравоохранения, таких как клиническое образование, планирование операций, обучение и медицинская визуализация. Внедрение Apple Vision Pro в медицинскую пр ...>>

Хранение углерода в Северное море 16.03.2024

Министр энергетики Норвегии Терье Осланд объявил о запуске проекта Longship, нацеленного на создание центрального хранилища углекислого газа в Северном море. Этот амбициозный проект оценивается в $2,6 млрд и направлен на применение технологии CCS (углеродного захвата и хранения) для смягчения воздействия климатических изменений. Норвегия уже имеет опыт в области CCS благодаря успешным проектам Sleipner и Snohvit, и сейчас стремится увеличить объем углерода, запечатываемого под морским дном. План Longship предусматривает создание мощности по захвату и хранению 1,5 млн. тонн углерода ежегодно в течение 25 лет. Несмотря на позитивные перспективы, существуют опасения по поводу долгосрочных последствий такого хранения. Однако сторонники проекта утверждают, что морское хранение углерода имеет ряд преимуществ, включая минимальное воздействие на окружающую среду. Проект Longship осуществляется при участии компаний Equinor, Shell и TotalEnergies через совместное предприятие Northern Li ...>>

Выращены мини-органы из амниотической жидкости человека 15.03.2024

Международная команда ученых под руководством профессора Фань Сюлиня из Университета Чжэцзян разработала уникальный способ выращивания мини-органов из клеток, обнаруженных в амниотической жидкости человека. Этот значительный прорыв в медицине может привести к улучшению диагностики и лечения врожденных заболеваний. Органоиды, представляющие собой трехмерные клеточные структуры, имитирующие органы в меньшем масштабе, были выращены из клеток легких, почек и тонкого кишечника, найденных в амниотической жидкости. Этот метод открывает новые возможности для изучения различных состояний плода и может стать ключом к ранней диагностике и лечению врожденных дефектов. Хотя пока не проводились попытки использования этого метода в лечении, ученые надеются, что их исследования в будущем помогут бороться с серьезными врожденными заболеваниями, которые затрагивают миллионы новорожденных ежегодно. Этот прорыв может изменить практику медицинских вмешательств, позволяя диагностировать и лечить врожд ...>>

Случайная новость из Архива

Выведена корова размером с собаку 19.12.2017

Американец Дастин Пиллард начал разводить миниатюрных коров, размеры которых не превышают 88 см в холке. Среднестатистическая буренка может достигать 182 см в высоту, но только не эти крошки.

Инициатива фермера имела невероятный успех: он уже получает заказы на мини-коров из Айовы, которых заводят исключительно для душевного успокоения, как собак.

Дастин подчеркивает, что это неплохая идея - коров воспринимают в основном как пастбищных животных, скот, который в итоге оказывается на нашем столе. А мини-коровы - совсем другая история.

"У многих есть индивидуальность, как у собак. Они обожают угощения и любят прогулки. Привязываются к хозяину, бегают вокруг, очень отзывчивы, общительны, спокойны. Им нравится внимание", - рассказывает фермер.

Другие интересные новости:

▪ Электронная капсула для исследования пищеварительной системы

▪ Сетевое хранилище Synology DS216+

▪ Видеокамера Nokia для съемки панорамного видео

▪ Новые 14-выводные Flash микроконтроллеры

▪ Инопланетяне загрязняют Вселенную

Лента новостей науки и техники, новинок электроники

 

Интересные материалы Бесплатной технической библиотеки:

▪ раздел сайта Освещение. Подборка статей

▪ статья Лестницы. Советы домашнему мастеру

▪ статья Сколько на небе созвездий? Подробный ответ

▪ статья Фонтан в комнате. Детская научная лаборатория

▪ статья Самодельный усилитель на микросхеме TDA 7294 (часть 3). Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

▪ статья Горновая пайка. Энциклопедия радиоэлектроники и электротехники

Оставьте свой комментарий к этой статье:

Имя:


E-mail (не обязательно):


Комментарий:





All languages of this page

Главная страница | Библиотека | Статьи | Карта сайта | Отзывы о сайте

www.diagram.com.ua

www.diagram.com.ua
2000-2024